Para solucionar essa questão, utilizarei de um fato conhecido de complexos:
$$ \frac{1}{1-z}=\frac{1}{2}(1+icotg(\frac{Arg(z)}{2})) $$
Prove você.
Sabendo que $tan(\theta)=cotg(90-\theta)$, teremos que:
$$ \sum_^{44}tan(4k+1)=\sum_^{22}cotg(4k+1) $$
Usando algumas propriedades de complexos como o produto de complexos e a fórmula de De Moivre, podemos unir as duas equações da seguinte maneira:
$$ \sum_^{22}cotg(4k+1)=2Img(\sum_^{22}\frac{1}{1-\omega z^k}) $$
onde $$\omega = cis(2º)$$ e $$z = cis(8º)$$
Com isso em mente, sabemos que o polinômio das n-raízes da unidade é da seguinte forma $$ p(z)=z^n-1$$ , $$ {1, z=cis(\frac{360º}{n}),z^2,...,z^{n-1} } $$
E pelas relações de Girard a soma do inverso das raízes de um polinômio $p(x)$ qualquer é:
$$ \sum \frac{1}{x_k} = (-1)\frac{p_1}{p_0} $$
Agora precisamos gerar um polinômio cujas as raízes sejam da forma $1-\omega z^k$
você consegue perceber que $$\sum_^{22}\frac{1}{1-\omega z^k}=\sum_^{44}\frac{1}{1-\omega z^k}$$, por quê?
Para transformar o polinômio unitário que conhecemos $$ p(z)=z^{45}-1 $$ em um polinômio cuja as raizes são da forma $$ 1-\omega z^k $$. Precisaremos:
Escalar todas as raízes por um fator de $-\omega$.
Transladar todas as raízes por uma constante 1
** tem que ser nessa ordem ?(resposta: acho que sim)
Escalar raízes de um polinômio qualquer por um fator $$ a $$.
$$ p(x) = (x-x_1)...(x-x_n)\implies p(\frac{x}{a})=(\frac{x}{a}-x_1)...(\frac{x}{a}-x_n)\ \implies p(\frac{x}{a})=\frac{1}{a^n}(x-ax_1)...(x-ax_n) $$
$$ \boxed{g(x)=a^np(\frac{x}{a})=(x-ax_1)...(x-ax_n)} $$
E para transladar é como imaginar que você está no referencial da reta numérica, se você quer que seja adicionado um valor $$ c $$ nas raízes, você deve ir “$$ c $$” para trás, e caso seja para subtrair “$$ c $$” para frente… Dessa forma
$$ p(x) \implies \boxed{g(x)=p(x-c)} $$
Aplicando isso à função $p(z)$ teremos que:
$$ g(z) = (-\omega)^{45} p(-\frac{z}{\omega}) $$
Tem raízes da forma $$-\omega z^k$$
$$ h(z) = g(z-1) $$
Tem raízes da forma $$ 1-\omega z^k $$
$$ h(z)=(z-1)^{45}+w^{45} $$
Podemos agora calcular os coeficientes de $$ z^0 $$ e $$ z^1 $$
$$ z^0=\omega^{45}+(1)^{0}(-1)^{45}\binom{45}{0} = cis(90º)-1=\boxed{i-1} $$
$$ z^1=(1)^{1}(-1)^{44}\binom{45}{1}=\boxed{45} $$
Assim,
$$ \sum_^{22}\frac{1}{1-\omega z^k} = (-1)\frac{45}{i-1}=\frac{45}{2}(1+i) \implies \boxed{Img(\sum_^{22}\frac{1}{1-\omega z^k}) = \frac{45}{2}} $$
Finalmente, podemos concluir que nosso resultado da nossa questão original é:
$$ \boxed{tan(1º)+tan(5º)+...+tan(177º) = 45} $$